TEMARIO:
- Características PID Básicas
- Consideraciones de Robustez
- Controladores con Dos Grados de Libertad
- Atenuación de Perturbaciones
- Variaciones del Proceso.
- Ruidos de Medición y Saturación.
- Diseño con Dos Grados de Libertad aplicando Filtrado de Ruidos.
- Filtrado.
- Asignación de Peso al Punto de Ajuste.
- Efecto de Windup.
- Limitación del Punto de Ajuste
- Algoritmos Incrementales
- Cálculo Retrógrado y Seguimiento
- Controladores con Modo de Seguimiento
- Ajuste de Parámetros (Tuning)
- Método de Ziegler-Nichols en base a la Respuesta al Escalón Método de Ziegler-Nichols en base a la Respuesta en Frecuencia Discusión de los Métodos Presentados
- AMIGO – un Método Mejorado de Ajuste por Respuesta al Escalón
- Implementación en Computadora Digital Problemas derivados del Muestreo Dispositivos de Retención
- Discretización de la Ley de Control
- Aspectos Operativos
- Pseudocódigo de Computadora
- Conceptos sobre Ajuste Automático de Parámetros (Autotuning) Referencias Bibliográficas.
Introducción.
Transcurridos más de 65 años desde su patentamiento los controladores de acción proporcional
+ integradora + derivativa continúan manteniendo plena vigencia en la automatización industrial. La página Internet perteneciente a la International Federation of Automatic Control (IFAC) www.ifac-control.org en la sección correspondiente a Professional Briefs (destinada a los profesionales del Control Automático en los ámbitos industrial y académico), exhibe dos publicaciones (sobre un total de cinco) en las que el control PID juega un papel protagónico refs. [1] y [2]. Para completar el muestrario, citaremos el paper de Åström y Hägglund: Revisiting the Ziegler- Nichols step response method for PID control, aparecido en el Journal of Process Control de enero de 2004 [3].
Por su parte el relevamiento efectuado por Desbourough y Miller [4] en 2002 sobre más de
11.000 controladores en refinerías, industrias químicas y papeleras, arrojó como resultado que el
97% de dichos controladores poseían estructura PID, reafirmándose así su difusión y vigencia [5] pese a todos los avances teóricos y tecnológicos. Los controladores integrados en disposi- tivos [6] e instrumentos [7] constituyen un área de creciente penetración del control PID en la industria.
Estas notas de extensión, constituyen una breve incursión sobre los conceptos relacionados con el diseño y ajuste de controladores PID, tanto para sistemas continuos como discretos, a fin de contar con una visión abarcativa de los diferentes aspectos de esta área de la Automatización y Control.
Por lo que atañe a los contenidos específicos, en primer lugar se pasa reseña a las características básicas PID y se discuten los problemas asociados con el diseño robusto del sistema a lazo cerrado. Los problemas específicos del windup y las reglas prácticas para el ajuste de parámetros (tuning) son considerados junto con sus correspondientes soluciones. Capítulo aparte merece la implementación del controlador en computadora digital, donde se discuten los problemas de muestreo y aliasing, discretización de la ley de control y aspectos operativos prácticos que condicionan el funcionamiento del controlador. Las notas se cierran con algunos conceptos sobre la automatización del ajuste de parámetros (autotuning) empleada en dispositivos modernos.
Características PID Básicas.
Comenzaremos con una síntesis de las características del controlador PID, para lo cual consideraremos el algoritmo teórico elemental:
cuyas variables se explicitan en el lazo de control de la Fig.1.
• El controlador PID fue patentado en 1939 por Albert Callender y Allan Stevenson de la firma Imperial Chemicals Limited (Northwich, Inglaterra). El controlador PID representó un enorme avance sobre los métodos de control automáticos previos.
La señal de control resulta entonces igual a la suma de tres términos: el término P (que es proporcional al error), el término I (proporcional a la integral del error) y el término D (que es proporcional a la derivada del error). Los parámetros del controlador son la ganancia proporcional K, el tiempo de integración Ti y el tiempo de derivación Td.
Fig.1. Lazo de control realimentado.
Los efectos de las acciones proporcional, integradora y derivadora se ilustran en las Figs.2, 3 y 4 respectivamente, en las que se muestran para un proceso de tercer orden, las respuestas temporales de y(t) para una variación en escalón unitario de la variable de referencia o punto de ajuste (en inglés: set-point).
Con control puramente proporcional, el error en estado de régimen disminuye cuando K
aumenta, pero el sistema se hace más oscilatorio.
Fig.3. Simulación de un sistema a lazo cerrado con control proporcional-integrador (PI).
La función de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)3 y la ganancia del controlador es K=1.
Al agregar la componente integradora comprobamos que su efecto se incrementa a medida que Ti disminuye. En la Fig. 3 observamos que el error de régimen desaparece. La tendencia a la oscilación crece a medida que Ti se va haciendo más pequeño.
Fig. 4. Simulación de un sistema a lazo cerrado con controlador PID.La función de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)3 y los restantes coeficientes se indican.
Fig.4 muestra el efecto derivador. Los parámetros K y Ti elegidos hacen oscilatorio (con Td nulo) al sistema de lazo cerrado (con un período de aproximadamente 6 segundos) . A medida que crece Td aumenta el amortiguamiento, pero éste vuelve a decrecer si Td se hace demasiado grande. Teniendo en cuenta que la acción derivadora puede interpretarse como una predicción basada en una extrapolación lineal durante el tiempo Td, vemos que esa predicción resulta inútil si Td se hace grande respecto del período de oscilación no amortiguado. La relación de Td con la dinámica del sistema se explicita en la Fig. 5.
Fig. 5. Se compara el efecto predictivo de la acción derivadora y su relación con la dinámica del sistema. La predicción (1) es aceptable, mientras que la (2) no lo es, debido al empleo de un valor excesivamente prolongado para Td.
Existen múltiples detalles en los controladores PID que no son revelados por la expresión (1). Para lograr un buen controlador PID se deberá tener en cuenta también:
Filtrado de ruidos y respuesta en alta frecuencia;
Diseño de 2 grados de libertad con asignación de peso al punto de ajuste; Efecto windup debido a la saturación del actuador;
Ajuste (tuning) de los parámetros; Implementación computacional.
Consideraciones de Robustez..
Con la finalidad de incorporar las definiciones necesarias para nuestro estudio, picotearemos algunas migajas conceptuales en los terrenos del Control Robusto. Para ello, expandiremos el lazo de control elemental de la Fig. 1 explicitando la estructura general del controlador y las perturbaciones y ruidos que inciden sobre el proceso y las variables controladas.
En la Fig. 6 el proceso P se encuentra sometido a perturbaciones: la perturbación de carga d (que representan aquellos efectos que apartan al proceso de su comportamiento deseado) y el ruido de medición n. La variable de proceso x es la verdadera variable física que se desea controlar, pero el control se basa en la señal medida y que se encuentra corrompida por el ruido n. El controlador se muestra dividido en dos partes: el compensador de realimentación C y el compensador por adelanto (feedforward) F. El proceso es influido por el controlador a través de la variable de control u. El proceso resulta ser así un sistema de tres entradas (u, d, n) y una salida (y). En la Fig. 6 se muestra la perturbación de carga actuando a la entrada del proceso, pero en realidad la perturbación puede ingresar al proceso en una multitud de maneras diferentes, habiéndose adoptado la representación mostrada a los efectos de evitar innecesarias complicaciones.
Fig. 6. Diagrama en bloques de un sistema de control realimentado.
La atenuación de perturbaciones es a menudo el objetivo primario del control. Las perturbaciones de carga son señales que pertenecen típicamente al rango de las bajas frecuencias. El ruido de medición por su parte posee componentes de alta frecuencia con valor medio nulo e introduce errores en los valores de la variable controlada. Haciendo un resumen de las consideraciones generales de diseño para un controlador, podemos formular los requerimientos básicos:
• Estabilidad
• Capacidad de seguir señales de referencia
• Reducción de los efectos de perturbaciones de carga
• Reducción de los efectos del ruido de medición
• Rechazo de variaciones de parámetros del proceso y/o incertezas en el modelo empleado.
Dependiendo de la aplicación específica, uno o más de los requerimientos indicados prevalecerá o prevalecerán sobre los restantes.
El sistema realimentado de la Fig. 6 posee, como dijimos, tres entradas: r, d y n que afectan a tres variables u, x e y que son de gran interés para el sistema de control. Suponiendo al sistema lineal existen entonces nueve relaciones expresables como funciones de transferencia entre las variables de entrada y las de salida. Si con X, Y, U, D, N, R representamos las transformadas de Laplace de x, y, u, d, n, r, dejando de lado el argumento complejo s en beneficio de la sencillez, podemos escribir:
Observamos en (2) que varias de las funciones de transferencia son iguales y que todas las relaciones están expresadas como combinaciones del siguiente conjunto de seis funciones, al que designaremos –siguiendo a Åström [8]– como el «Sexteto Mayor».
Las funciones de transferencia de la primera columna determinan las respuestas de la variable de proceso (x) y la variable de control (u) al set-point (r) o variable de comando. La segunda columna da las mismas señales para el caso de realimentación pura de error (F=1). La función P /(1 + PC ) en la tercera columna define la reacción de la variable de proceso (x) a una perturbación de carga (d), mientras que ruido de medición.
C /(1 + PC ) da la respuesta de la señal de control al ruido de medicion; El sistema con F=1 se denomina control de realimentación de error puro. En este caso el sistema queda completamente caracterizado por el «Cuarteto» de funciones de transferencia:
Los nombres de las funciones integrantes del Cuarteto se deducen a partir de considerar la función de transferencia de lazo cerrado (T) del sistema y de la variación que sufre si la planta (P) experimenta una pequeña perturbación alrededor del valor nominal de sus parámetros:
La función de sensibilidad S permite entonces expresar la variación relativa de la función de transferencia de lazo cerrado ante pequeñas variaciones del proceso. De acuerdo a las (5) tenemos que
S + T = 1 (6) razón por la cual a la función de transferencia de lazo cerrado (T) se la suele denominar también función de sensibilidad complementaria.
Controladores con Dos Grados de Libertad.
Antes de adentrarnos en consideraciones de diseño, dejemos aclarado que el diagrama en bloques de la Fig. 6 que adoptamos como representación estandarizada, es totalmente equivalente a otras configuraciones posibles. Así por ejemplo, el clásico esquema de adelanto de la señal de comando de la Fig. 7 puede ser llevado a la forma de la Fig. 6 si imponemos F=A/C.
Fig.7
Decimos que el controlador de la Fig. 6 posee dos grados de libertad porque el bloque C forma parte del lazo cerrado, mientras que el bloque F es exterior al mismo. Este hecho posibilita una atractiva subdivisión del problema de diseño: así C puede ser proyectado para proporcionar el debido rechazo de las perturbaciones de carga e incertezas en el proceso, mientras que F es diseñado para lograr una buena respuesta a las señales de referencia. El diseño de C solamente considera el cuarteto, mientras que en el proyecto de F intervienen las dos funciones de transferencia restantes que completan el sexteto mayor.
Para describir al sistema con propiedad, es entonces necesario mostrar las respuestas de las seis funciones de transferencia, cosa que hemos hecho en las figuras siguientes, donde mostramos las respuestas al escalón y las respuestas en frecuencia del sexteto.
Las respuestas temporales de la Fig. 8 muestran que el feedforward mejora sustancialmente el tiempo de respuesta. El tiempo de respuesta es notablemente menor, 4s contra 25s, sin sobrepasamiento (comparar Fig. 8.a. con 8.b.). Esto también se refleja en las curvas de respuesta en frecuencia, que muestran (Fig. 9.a.) un mayor ancho de banda sin pico de resonancia para la función de transferencia con adelanto de señal (comparar con 9.b.).
Las funciones de transferencia CF/(1+PC) y C/(1+PC) representan la transmisión de señal de la variable de referencia a la variable de control, y del ruido de medición a la variable de control, respectivamente. La respuesta temporal de la Fig. 8.d, demuestra que la reducción del tiempo de respuesta que se logra por adelanto de señal, requiere un esfuerzo de control substancial. El valor inicial de la variable de control se encuentra fuera de escala en 8.d. pero la respuesta en frecuencia 9.d. muestra que la ganancia de alta frecuencia para CF/(1+PC) es 16, que debe ser comparado con el valor 0.78 para C/(1+PC). La respuesta rápida requiere entonces señales de control considerablemente mayores. Independientemente del valor que tome la función de transferencia del bloque de adelanto de señal (feedforward), la Fig. 8.c. nos informa que el rechazo a un escalón de perturbación de carga se completará en aproximadamente 20 a 25 segundos.
Fig. 8. Respuestas al escalón del sexteto. El proceso es P(s)=1/(s+1)4. El controlador aplicado es PI con K=0.775, Ti=2.05. El bloque F de adelanto de señal se ha diseñado para obtener la función de transferencia 1/(0.5s+1)4 de la entrada r a la salida y.
El hecho de que se necesitan 6 relaciones para capturar la totalidad de las propiedades de un lazo básico de control es a menudo pasado por alto en la literatura, reduciéndose muchas publicaciones a mostrar tan sólo la respuesta de la variable del proceso a cambios en el punto de ajuste, brindando una información muy parcializada del comportamiento del sistema.
Fig. 9. Respuestas en frecuencia del sexteto, para la misma situación representada en la Fig. 8.
Ilustraremos lo expresado mediante un ejemplo. Sea el proceso caracterizado por la función de transferencia
P(s) = 1 (s + 1)(s + 0.02) que es controlado por realimentación pura de error empleando el compensador PI
C (s) = 50s + 1 resultando la función de transferencia de lazo 50s abierto
La Fig. 10 muestra que las respuestas a un escalón de la variable de referencia son muy razonables. Basados en estas respuestas podríamos ceder a la tentación de dar el diseño por bueno. Para explorar nuestro sistema algo más en profundidad, debemos calcular el cuarteto ya que F=1.
Obsérvese que el polo del proceso ubicado en s = –0.02 es cancelado por el cero del controlador PI. Esto hace que la función de transferencia de lazo abierto sea de segundo orden aunque el sistema de lazo cerrado es de tercer orden, con la ecuación característica.
Fig. 10. Respuestas a un escalón de la variable de referencia.
La presencia del polo lento s = –0.02 en la función de transferencia P/(1+PC), da por resultado que la respuesta a una perturbación en la carga decaiga muy lentamente, según e -0.02t. El controlador PI no responderá a la señal e -0.02t porque el cero en s = –0.02 bloqueará su transmisión. Esto se ve con claridad en la Fig. 11 en la que se observa que una perturbación de carga es rechazada en aproximadamente 200 segundos.
El comportamiento ilustrado es típico de la cancelación de polos y ceros y corresponde a la excitación de un modo observable pero no controlable en el sistema de lazo cerrado.
Fig. 11. Respuestas a un escalón de perturbación de carga.
Atenuación de Perturbaciones.
A efectos de discutir la influencia de las perturbaciones y su atenuación, consideraremos la operación a lazo abierto y a lazo cerrado del sistema de la Fig. 6 considerando nula la señal de referencia (r = 0). A lazo abierto la salida del sistema vale
La atenuación de perturbaciones puede entonces visualizarse mediante la curva de Bode de S(jω). La frecuencia más baja donde la función de sensibilidad tiene módulo 1 se denomina frecuencia de cruce de la sensibilidad ωcs.
El módulo máximo de la sensibilidad
es un parámetro importante ya que define la máxima amplificación de las perturbaciones. Ese máximo ocurre para la frecuencia ωms.
Fig. 12. Diagrama de Bode de la f.t. de sensibilidad correspondiente al sistema de la Fig. 8. Se explicitan módulo máximo, frecuencia del máximo y frecuencia de cruce de sensibilidad.
La función de sensibilidad puede ser escrita en la forma
Fig. 13. Diagrama de Nyquist de la fun- ción de transferencia de lazo abierto co- rrespondiente al sistema de la Fig. 8.
y como solamente depende de la función de transferencia de lazo abierto L(s), puede ser visualizada en el diagrama de Nyquist de L(jω). El número complejo 1+L(jω) es repre- sentado por el vector trazado desde el punto –1 al punto L(jω) sobre la curva de Nyquist. La sensibilidad es enton- ces menor que 1 para todos los puntos exteriores al círculo de radio unitario centrado en –1. Las perturbaciones corres- pondientes a estas frecuencias son atenuadas por la reali- mentación (ver Fig. 13).
===== FIN PARTE I (uno) DEL ARTÍCULO: CONTROL PID UN ENFOQUE DESCRIPTIVO ===
Ing. Walter J. D. Cova
Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional La Rioja Departamento de Electrónica
CONTROL PID
UN ENFOQUE DESCRIPTIVO
Toda la realimentación que pudiera generarse, ruego dirigirla a: walter_cova@hotmail.com y será bienvenida.
Referencias Bibliográficas.
[1] A. Leva, C. Cox, A. Ruano: Hands-on autotuning: a guide to better utilisation. IFAC Professional Brief, 2005. www.ifac-control.org/publications/pbrief.htm
[2] B. Wittenmark, K.J. Åström, K.E. Årzén: Computer Control: an Overview. IFAC Professional Brief, 2005. www.ifac-control.org/publications/pbrief.htm
[3] K.J. Åström, T. Hägglund: Revisiting the Ziegler-Nichols step response method for PID
control. Journal of Process Control, v.14 (2004), págs. 635-650.
[4] L. Desbourough, R. Miller: Increasing customer value of industrial control performance monitoring – Honeywell’s experience. Sixth International Conference on Chemical Process Control, AIChE Symposium Series Number 326, vol. 98, 2002.
[5] K.J. Åström, T. Hägglund: The future of PID Control. Control Engineering Practice, vol. 9 (2001), págs 1163-1175.
[6] S.G. Akkermans, S.G. Stan: Digital servo IC for optical disk drives. Control
Engineering Practice, vol. 9 (11) (2002), págs 1245-1253.
[7] J.E. Jazni y colaboradores: Servoacelerómetro de 1 Grado de Libertad con Rebalanceo Electrónico Analógico. Comisión Nacional de Actividades Espaciales – Instituto Universitario Aeronáutico, Córdoba, 2000.
[8] K.J. Åström: Control System Design - Lecture Notes for ME155. University of
California at Santa Barbara. 2002.
[9] A.D. Lewis: A Mathematical Approach to Classical Control. Queen’s University, Dept. Of Mathematics & Statistics. Kingston, Canada. Update 22/10/2004.
[10] H.A. Latchman, O.D. Crisalle, V.R. Basker: The Nyquist Robust Stability Margin – A New Metric for the Sability of Uncertain Systems. International Journal of Robust and Nonlinear Control. Vol. 7, págs. 211-226 (1997).
[11] W. Oppelt: Kleines Handbuch Tecnischer Regelvorgänge. Verlag Chemie GmBH, Weinheim/Bergstr., 1972.
[12] T. Hägglund, K.J. Åström: Revisiting the Ziegler-Nichols Tuning Rules for PI Control.
Asian Journal of Control, vol. 4, No. 4, (Dec. 2002), págs 364-380.
[13] K.J. Åström, H. Panagopoulos, T. Hägglund,: Design of PI Controllers based on Non- Convex Optimisation. Automatica, vol. 34, No. 5, (1998), págs. 585-601.
[14] Koza, Keane, Streeter, Mydlowec, Yu, Lanza: Genetic Programming IV: Routine
Human-Competitive Machine Intelligence. Keuwer Academic Publishers, 2003.
[15] K. Ogata: Ingeniería de Control Moderna. Prentice Hall Iternacional. México, 1976.